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Skaleninvarianz und Benford Gesetz

Es lassen sich in der realen Welt alle möglichen Daten finden, die das Benford Gesetz befolgen. Aus diesem Grund muss das Benford  Gesetz skaleninvariant sein.

Begründung

Daten können in verschiedenen Skalen angegeben sein:

Geldbeträge in € oder in DM, Volumina in Gallonen oder in Litern.

Wenn das Benford Gesetz in einer Skala gilt, dann muss es auch für alle anderen Skalen gelten.

Die Verteilung des Vorkommens der ersten Ziffer darf sich also nicht ändern, wenn die Zahlen (bei der Umrechnung auf eine andere Skala) mit einem beliebigen konstanten Faktor multipliziert werden.

 

Gleichförmige Verteilung und Benford-Gesetz

Angenommen die Ziffern 1,...,9 kommen gleichhäufig als erste Ziffer vor.

Was passiert dann mit der Anfangsziffer einer Anzahl von Geldbeträgen die von € in DM umgerechnet werden?

(Faktor 2)

Schreibe zunächst jede Zahl in der Form

.

Beispiele

,        

Ist nur die erste Ziffer von Bedeutung, dann kann man sich mit dieser Schreibweise auf das Intervall [1,10] beschränken.

Alle Zahlen aus [5;10) beginnen nach Multiplikation mit dem Faktor 2 mit 1.

Alle Zahlen aus [1;1,5) beginnen nach Multiplikation mit dem Faktor 2 mit 2 usw.

Wenn die Skaleninvarianz gelten soll, dann ist eine Gleichverteilung für die erste Ziffer nicht möglich!

Gesucht ist eine Verteilung für die erste Ziffer, die sich nicht ändert, wenn die Zahlen mit einem bel. konstanten Faktor multipliziert werden.

 

Transformation der Problemstellung

Die Zahlen xÎ[1;10) werden betrachtet. Diese können durch die Logarithmusfunktion zur Basis 10 auf die Zahlen y=log10(x) des Intervalls [0;1) abgebildet werden:

 

Wenn die Verteilung für die Zahlen x skaleninvariant sein soll, dann darf sich die Verteilung der Zahlen y nicht ändern wenn eine beliebige Zahl zum Wert von y addiert wird:

y+c=y+ log10(a)= log10(x)+ log10(a)=log(x a) mit

  .

Nach Voraussetzung sind die Verteilungen der Zahlen x und x*a gleich, woraus die Behauptung folgt.

Welche Verteilung der Zahlen y auf [0,1) ändert sich nicht, wenn eine beliebige Zahl zu y addiert wird?

Verschiebungen modulo 1:

Download der DERIVE-Datei

 

Nur eine konstante Funktion verändert bei einer beliebigen Verschiebung modulo 1 ihr Aussehen nicht.

Die Verteilung der Zahlen y muss also die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x)=1 auf [0,1) besitzen:

 mit

 

Das Benford Gesetz

Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer d einer Zahl gleich 1 ist:

P(d=1) = P(1£x<2) = P(0£y< log10(2)) =

.

 

Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer d einer Zahl gleich n ist:

P(d=n) = P(n£x<n+1) = P(log10(n)£x< log10(n+1)) =

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl mit der Ziffer n beginnt ist

log10((n+1)/n).

Diese Beziehung heißt Benford-Gesetz

 

Graphische Darstellung des Benford-Gesetzes:

 

 

Download der DERIVE-Datei

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