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Wahrscheinlichkeiten für die erste Ziffer

Die Wahrscheinlichkeit p, dass die erste Ziffer einer Zahl gleich 1 ist,  hängt von der Grundgesamtheit M ab, aus der die Zahl gezogen wird.

M={1,2,3,...,9} M={1,2,3,...,19} M={1,2,3,...,19,55} M={1,2,3,...,19,...,99}

                 

*  

hat ein lokales Maximum für die Zahlen n=1, 19, 199, 1999,...

                      usw.

*

wird minimal für n=9, 99, 999, 9999,...

In diesen Fällen gilt: 

 Wie sieht der zugehörige Graph  aus?

 

 n aus

2-9

10-19

20-99

100-199

200-999

1000-1999

pn

usw.

Bezeichnungen

dim(n) :     Anzahl der Stellen von n

first(n) :    Erste Ziffer von n

 

Man beachte, dass die x-Achse logarithmisch eingeteilt ist. 

Download dieser DERIVE-Datei

 

Ein Schätzwert für p(1)

Eine Formel für die Größe der lokalen Maxima:

Der Wert des m-ten Maximums ist

,

wobei im Zähler und Nenner jeweils m Ziffern stehen.

Beispiel:           

Allgemein:      

 

Als Grenzwert für die Maxima ergibt sich damit 5/9 .

Die Minima haben alle den Wert 1/9 .

Grober Schätzwert für p(1):      

(5/9 + 1/9) / 2 = 1/3

 

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