Wahrscheinlichkeiten
für die erste Ziffer
Die
Wahrscheinlichkeit p, dass die erste Ziffer einer Zahl gleich 1 ist,
hängt von der Grundgesamtheit M ab, aus der die Zahl gezogen wird.
M={1,2,3,...,9} | M={1,2,3,...,19} | M={1,2,3,...,19,55} | M={1,2,3,...,19,...,99} |
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hat ein lokales Maximum für die Zahlen n=1, 19, 199, 1999,...
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usw.
wird
minimal für n=9, 99, 999, 9999,...
In diesen Fällen gilt:
n aus |
2-9 |
10-19 |
20-99 |
100-199 |
200-999 |
1000-1999 |
pn |
|
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|
|
|
|
usw.
Bezeichnungen
dim(n) :
Anzahl der Stellen von n
first(n) :
Erste Ziffer von n
Man beachte, dass die x-Achse logarithmisch eingeteilt ist.
Ein
Schätzwert für p(1)
Eine Formel für die
Größe der lokalen Maxima:
Der Wert des m-ten Maximums ist
,
wobei im Zähler und
Nenner jeweils m Ziffern stehen.
Beispiel:
Allgemein:
Als Grenzwert für
die Maxima ergibt sich damit
5/9
.
Die Minima haben alle
den Wert
1/9
.
Grober Schätzwert für p(1):
(5/9
+ 1/9) / 2 = 1/3