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Problem:

Betrachtet werden die 2^k –1, k=3, Dualzahlen 001, 010,...,111.

Die Addition modulo 2 von Dualzahlen liefert ein Ergebnis der Form:

000, 010,...,111. (2³ mögliche Werte).

Es soll gezeigt werden, dass 000 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2^k = 1/8 auftritt, wenn eine beliebige Anzahl voneinander verschiedener Dualzahlen addiert wird.

Fasse die Dualzahlen als Spaltenvektoren auf.

Gesucht ist die Anzahl der Linearkombinationen die den Nullvektor liefern:  

(*)          .

Das ist gleichbedeutend mit der Zahl der Lösungen des folgenden Gleichungssystems:

Der Rang der Matrix ist 3.   (Überprüfung mit DERIVE)

Deshalb ist die Dimension des Lösungsraumes 7-3=4.

(Der Lösungsraum ist der Kern der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung).

 Der Lösungsraum wird durch 4 linear unabhängig 7-tupel aufgespannt:

       ,

d.h. er besteht aus 2⁴ =16 Elementen.  

(Erzeugung des Lösungsraums mit DERIVE)

Insgesamt gibt es 2⁷ = 128 verschiedene 7-tupel. Die Wahrscheinlichkeit, durch zufällige Auswahl eines 7-tupels ein solches zu finden, das die Gleichung (*) erfüllt, ist deshalb

.

Dieselben Überlegungen lassen sich auch für den Fall von 2^k -1 Dualzahlen, k beliebig, anstellen.

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