Problem:
Betrachtet
werden die 2k –1, k=3, Dualzahlen 001, 010,...,111.
Die
Addition modulo 2 von Dualzahlen liefert ein Ergebnis der Form:
000,
010,...,111. (23 mögliche Werte).
Es
soll gezeigt werden, dass 000 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2k
= 1/8 auftritt, wenn eine beliebige Anzahl voneinander verschiedener Dualzahlen
addiert wird.
Fasse
die Dualzahlen als Spaltenvektoren auf.
Gesucht
ist die Anzahl der Linearkombinationen die den Nullvektor liefern:
(*)
.
Das
ist gleichbedeutend mit der Zahl der Lösungen des folgenden Gleichungssystems:
Der Rang der Matrix ist 3. (Überprüfung mit DERIVE)
Deshalb ist die Dimension des Lösungsraumes 7-3=4.
(Der
Lösungsraum ist der Kern der durch die Matrix beschriebenen linearen
Abbildung).
,
d.h.
er besteht aus 24 =16 Elementen.
(Erzeugung des Lösungsraums mit DERIVE)
Insgesamt gibt es 27 = 128 verschiedene 7-tupel. Die Wahrscheinlichkeit, durch zufällige Auswahl eines 7-tupels ein solches zu finden, das die Gleichung (*) erfüllt, ist deshalb
.
Dieselben
Überlegungen lassen sich auch für den Fall von 2k -1 Dualzahlen, k
beliebig, anstellen.