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Codierung

,

seien Alphabete. Mit A*, B* wird die Menge aller Wörter über dem jeweiligen Alphabet bezeichnet.

 

Eine Abbildung

heißt Code.

 

Bemerkung:

Oft wird auch die Menge aller Bilder B’f  der Abbildung als Code bezeichnet.

 

Ein Code heißt Blockcode wenn die Wörter aus B’f  alle diegleiche Länge haben.

 

Linearcode

  V sei der Vektorraum der n-tupel über dem Grundkörper GF(2):

 

+

0

1

 

*

0

1

0

0

1

 

0

0

0

1

1

0

 

1

0

1

 

f heißt ein Linearcode wenn B’f ein Untervektorraum von V ist.

Die Menge der Basisvektoren von B’f heißt dann Codebasis.

 

Ein Linearcode kann deshalb durch Angabe der Basisvektoren beschrieben werden. Diese werden zur Generatormatrix G zusammengefasst.

  Beispiel:

n=5

Man erhält alle Bilder, indem man alle möglichen Linearkombinationen der Basisvektoren bildet. Davon gibt es 23 = 8 Stück.

 

Beispiel:

 

Berechnung aller Codevektoren:

 

 

Zu jedem Linearcode kann eine Kontrollmatrix H angegeben werden, so dass gilt:

 

v ist ein Codevektor Û v HT = 0 (Nullvektor)

 

Damit gibt es eine einfache Methode um zu prüfen ob ein vorgegebener Vektor ein Codevektor ist.

Für das letzte Beispiel ergibt sich H zu:

 

  v=(0 1 1 1 1) ist ein Codewort denn

 

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